2010年のメモが案外面白かったので。需要はについては考えない。

シッポ・マボナさんのアリの構造が面白い。左右の1:2の長方形にそれぞれ6つのカドが詰め込まれているという、サークルパッキングらしい、無駄の無い構造だ。 ただし、折り出しはそう簡単ではない。さて、どう折り出す？　というか、折るだけでいけるのか？

http://snkhan.co.uk/forum/viewtopic.php?t=7466

形を見ていると、なんとなく任意角の三等分を思い出すのだが、あまり関係がなさそうだ。そもそも「3等分する角度」か「3等分の起点」が分かればそれがほぼ答えだという事にすぐに気がついた。これは一旦忘れよう。

似てはいるんですけどね。

整理しよう。折り出したいのは、横の辺に位置するカドの点、もしくはカドの折り込んである線の角度だ。この場合、どちらかというと角度の方が折り出しやすそうな気がする。紙の横のカドの間隔（カドの長さを1として、この長さを2としておこう）を適当なところに折り出して、それを基準に紙の上下の点を折り出すのがよさそうだ。

で、あとはこの2の長さの円周上のどこかに上下の辺のカドがある訳だ。 なにか他にもうひとつ基準はないか……ある。

展開図で見た場合、上辺のカドと横の辺の中間点を結ぶ線は、1:2の対角線になっている。これと上記の半径2の円を組み合わせればいい訳だ。

で、実際の手順。効率化してあるけれど、基本的な考え方は上記の基準を利用している。

以上。もっと良い手順があるかもしれないけど、とりあえず折り出せる事は分かったので満足。

2011/11追記。 少し後で、展開図を眺めていて、ふとまったく気がついていなかった解を見つけた。漸近法が使える！！すげえ。これ、手順がループするようなかたちで必要な点を出せば、結構応用できるんじゃないかな。

ヒダの角度を変える。ウロコ等に使えるが、使い勝手はあまりよくない。

斜めに模様を入れる構造。使い道はまだ決めていない。表側だけでなく裏側も素敵です。

10年以上前に考えた等分方法についての事と、最近の設計法が実は密接に関連していたという話。

まずは等分方法から。 切っ掛けはこの5等分。

これが何故5等分になるのかといろいろ考えていて、（なぜか）折る線が√5であることに注目、折る線の2乗等分が成立するのではないか？と思いついた。

数字を簡単に追ってみた結果、捉え方はいろいろあるにせよそれ自体は問題なさそう。ということで、やってみたのが1:4(√16)の対角線(√17)を使った17等分。

結果は成功。17等分の方法としてはかなり使いやすいのではないだろうか。

次に3等分。使うのは1:√2：√3の直角三角形、このうち折る線は√3、言い換えると1:√2の長方形の対角線になる。

√が絡むと折り出し辛いけれど、比率によっては素数等分を相当短い手順で折れる。 この段階では「ちょっと面白い等分方法で、実用面では1:√2の長方形を3等分する時に便利そう」というくらいにしか考えていなかった。

で、次が最近の話。

いわゆる神谷パターンや整数比角度系、ラングさんのsterling gridなどがいろいろと研究されているわけなのですが、先週末ごろTwitterでの話題を見ていて、上記の等分方法って実はこれらと密接に関連していたんだなと、いまさら気がついた。

この等分方法は、折ったカドの位置で縦横両方の等分が同時に出来ます。つまり、縦横等分する・カドはその等分グリッドに乗っている上に、整数の対角線ができる……他他数字から実用面までしっかり関連している。

5等分の場合、カドの位置から左側を見てみると3:4:5のいわゆる神谷パターンになる事がわかります。3等分はラングさんのsterling gridとかですね。

そして同時に気がついたのが、恐らく逆もいける。つまりこの等分方法の結果から、なんらかのグリッドが成立する。使いやすさに差はあると思うけれど、少なくとも指定の単位で折り畳める角度のセットが得られる。ベースとなる角度も比率もすぐに分かる。とりあえず整数の対角線だけはいくつか試してみたけれど、見事にピタゴラス数の構造になった。

という感じにいろいろ繋がって腑に落ちたと同時に、神谷パターンを見つけた時に感じた、「絶対他にもあるはず」という直感は当たっていたことを、とりあえず確認できたので満足したというそれだけの話。

ずいぶん前のコンベンションで宮島さんに聞かれてた問題。実は少し後に答え自体は出ていたのだけれど、放っておいて今に至る。

http://origamigasakebuyoru.seesaa.net/article/388906614.html

パターンの分析

正20面体の辺の色分けと考えるのが、個人的にはやりやすいと思う。

まず思いついたのが、それぞれの色各10枚の位置関係は対称にはならない事。正多面体の対称性を考えると、いくつかの種類に別れるはず。10の対称”面”ならあるけれど、今回はあまり使えなさそう。

次に色分け図を見て気がついたのが、5本の辺がそれぞれ繋がっている事と、それが6本絡み合っている事。これはよく考えると当たり前の話で、各頂点には5本の辺が集まっているので、3色での色分けでは必ず1:2:2となる。この1が6本の色線の端になる。で、頂点は12なので色線は6本となる。

整理されてきた。 まず、6本3色であれば対称性が分かりやすい。正四面体の各辺だ。 さらに色分け図を詳しく見ると、5本の辺はS字に曲がっている事に気がつく。たしかにこれ以外では無理っぽい。正20面体=変形正四面体であると考えれば、納得の対称性と位置関係。という事で、構造的には右巻きと左巻きの2種類がある。

※印の辺が5本繋がっている中心の辺

具体的な組み方

1. まず20面体の頂点5枚を組む。色はa(青)×1:b(赤)×2:c(緑)×2になる。

2. その周りを組んで三角形の面5つをつくる。これは自動的に決まる。使うのはa(青)×3:b(赤)×1:c(緑)×1。

3. 手順1でa(青)を使っている頂点（白印）に注目、a(青)ともう１つ(b(赤)またはc(緑))を合わせて頂点をつくる。

印の頂点を手前にする。

a(青)ともう１つ(図ではc(緑))で頂点をつくる。

4. 3つ組み合わせて三角形の面3つをつくる。

5. 2カ所あるユニットが4つ集まっている頂点のうち、片方は両側の色が違うため確定している。3つ組み合わせて面を2つつくる。

4つのユニットが集まっている印の頂点を手前に。

色はc(緑)に確定している。両側も組み合わせる。

6. あとは確定している頂点・面を順番に埋めていけば完成。

印の頂点はつなぐパーツの色が確定済。それぞれ組んで進めていけば全体が組み上がる。

ポイントとなるのは3の手順で、ここで正しい色のパーツを組む事で巻き方向を確定、残りの色も全て決まります。逆にここで間違えて緑と赤を組んでしまうと、少し先で行き詰まります。線対称になっているので、2つ先くらいの手順で同じ色が隣り合うはず。

これはダメなパターン。青のパーツが赤と緑で取り囲まれている。

三等分の方法と、三等分にならない方法を同時に見つけた話。

まずは以下の図をご覧下さい。1/3の折り出し方です。

ここで問題：どこが3等分になっているのでしょうか？

まずは正解から。斜めの方の点が正解で、図のように3等分しています。なお、実用性はあまり無いです。使い易くはないし、この方法を使わなければいけない必然性も思いつかない。当然、これが実際に使われている図などを私は知りません。

で、こっちはハズレ。折ってみた時はもしかしたらと思ったけれど、確認したら違った。ただ、これが妙に惜しくてちょっと面白い。

長さはピタゴラスの定理で簡単に確認できます。紙の１辺を12とすると、幅は9、高さは7.93725…..となります。15cmの紙の場合、1/3とは1mm程度の誤差です。

ちなみに、正確に3等分できる場合の三角形の面積は幅9×9+高さ8×8＝145。このケースの面積は斜辺12×12=144なので、残念ながら1ずれています。

以上、多分実用性はないけれど、方法を見つけた本人が面白かっただけの話です。