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「2+√2:4」 について

比の折り出しスクリプトの検索候補に「4:2+√2」を追加した時に考えていたことです。

6+√2を折り出す場合、おそらく4と2+√2に分けるのがまず間違いなくベストです。どちらも数字自体は難しい比率ではないので、効率や精度を気にしなければ簡単に折り出せます。過去に4:2と2+√2:2の対角線を使っての折り出しも行なっています。ただ、2+√2:4を使うと、対角線上に折り出すことができるので、より使いやすく無駄がなさそうです。

まず、2+√2:2については、とても簡単に折り出すことができます。√2系の比率では、最も折り出しやすいものの一つでしょう。
2+√2:1はこの半分なので、こちらも折り出しは簡単です。

ではこの縦側の2を倍にした「2+√2:4」を使いたい場合は、どのように折り出すのがよいのでしょうか?
折り出し自体は可能なのはすぐに分かるのですが、簡単に折り出す方法があれば使いやすくなるはずです。

今回の基準点折り出し方法は、2+√2を3と(√2)-1に分けて考えます。
√2という数字は、(当たり前ですが)1と(√2)-1に分けることが出来ます。そして(√2)-1は、22.5度の線で簡単に折り出すことができます。

ということで、2+√2を4等分の線3マスと22.5度の線で折り出すと考えます。
1/16の小さな正方形内に22.5度の折り筋をつければ、それで基準点を折り出すことができるのです。

ただ、この手順だと無駄な折り筋が多いので、手順を逆にします。つまり辺を4等分してから22.5度の折り筋をつけるのではなく、先に22.5度の折り筋をつけ、それから4等分することで、ほぼ無駄な折り筋がない状態で2+√2:4の基準点を折り出す事ができました。

同じようにして更に半分の点にすると、8:6+√2の比率も折りだせます。
あまり実用的ではありませんが、もしかしたら使う機会があるかもしれません。

ちなみに、今回は対角線を交差させる比率折り出し方で利用していますが、もちろん他の比率の折り出し方法でも使えます。グリッドを基本としていることを考えると、むしろそっちの方で使った方が便利そう。


6-√2とマイナスの数値の折り出し

いつもの比の折り出しの話。

1+√2 : 4-2√2 : 1
=6-√2。多分折った事のない比率だ。
この手の場合は一辺の長さに対して1を折り出してから、1+√2を出すのがよさそうです。

このケースでは4と2-√2に分けるのが恐らく最適解。
意外に思われるかもしれませんが、2-√2はとても折り出しやすい長さです。22.5度の線1本で折り出す事ができます。

という事で折り出し手順。


ポイントは2-√2の折り出しで、見て分かるとおり、2も√2も折り出す必要がありません。
最後に1の幅から22.5度の線で1+√2を折り出せば、完了です。

 


 

さて、実はここまでは前置きで(ほぼ最適解であろう答えは出ているのだけれど)、ここからが本題。

もう1つ。6と-√2に分ける場合を考えてみます。
問題は-√2という数値を折り出す事ができるのか?という点なのですが……あまり実用性はないけれど、可能なのです。

今回使っている折り出し方の場合、カドから2本の線が交差するように内側に向けて基準線をつけるのですが、それを反対側……つまり外側にむけてやるとマイナスの数値を折り出す事ができます。

ただし、紙の外側に折り筋をつけることはできないので、実際には半分の長さなどで折るのがよいでしょう。
分かりやすい例として、3等分の方法を見てみましょう。分割方法は4と-1です。
という事で折り手順はこのようになります。なお実用性はあまりない。この方法が使われている・紹介されているのを私は知りません。

では本番。6と-√2の場合の折り手順です。折り出しやすさの都合上、6:2(=3:1)と-√2:2で折り出しています。

 


 

以上、よく考えてみれば当たり前のマイナスの数値の折り出し方法です。活用できるケースは限られているかと思いますが、いざ必要な場合にはとても便利そうです。

 


折紙探偵団マガジン115号(20期)クローズアップ「22.5度系の比の折り出し」(神谷哲史)

※比の折り出し方法等の解説です。合わせてご覧下さい。


15+4√2

今更ながらいつもの。本人がいたのに話し忘れていた。

比の折り出しの基本は、2つの「折り出しやすい数字」に分けることです。折り出しやすい数字とはという問題はありますが、今回の場合、4√2側に8を移して(つまり4(2+√2)だ)、7:8+4√2に分けることができます。
ということで折り出し方法を2種類。
まずは7:8と8+4√2:8(=2:2+√2)の2つの長方形の対角線を折り出す方法。
それぞれの数字に2の累乗数の「8」を組み合わせることで、折り出しやすい比率になっています。
もう一つ。1辺を8+4√2として、対応する7を折り出す方法。つける折り筋も少なく、対角線上に折り出せるので使いやすそうです。
どちらの方法も、7の側の位置は比較的簡単に変更できるので、同じような方法で「13+4√2」や「11+4√2」なども折り出せます。

おおさんしょううおの比率とその折り出し方

折紙探偵団マガジン167号に掲載された豊村高志さんのおおさんしょううお、記事では折り出しやすい近似値を利用していますが、実際はどのような比率なのでしょうか? またどのように折り出せばいいのでしょうか?

※実際に折る時には問題にはならない程度ですが、小さなズレがあります。

比率を求める

複雑な比率を計る時は、縦横に基準線を加えると分かりやすくなります。
ぜひマガジンの展開図と比べてみて下さい。

内側の部分で数字を取り出します。中略。結果、脚のカドになる点の両側は、
4+2√2:2.5+2√2
となります。2.5ってなんだよ。

数値の約分

0.5を扱い易くするためにまず2倍にします。
8+4√2:5+4√2
それにしても数字が大きい。もう少し分かりやすい数字にできないでしょうか?

ここで利用するのが、「1+√2:2+√2 = 1:√2」。

ということで、それぞれ1+√2で割ります。つまり、
4(2+√2):3(1+√2)+(2+√2)
=4√2:3+√2
かなりシンプルな数字になりました。

折り出し

とりあえず、合計して1辺全体の長さを求めます。
3+5√2
いろいろな可能性が考えられますが、今回については2√2と3+3√2に分けて折り出すのがよさそうです。折り出したい点との相性もいいし。
次、考えやすさののため、全部√2倍します。(必然ではありませんが、√が少ない方が分かりやすいという程度の理由です。)
2√2:3+3√2
=4:6+3√2
折り出しやすそうな数字になってきました。
3√2の「3」をどのように折り出すかだけが問題ですが、今回は4:3の長方形を利用して折り出します。
それぞれの比率を横幅、縦幅を3とすると、折り出しに必要な長方形は「4:3」と「3(2+√2):3 = 2+√2:1」で、どちらも簡単に折り出せる比率です。

折り手順

実際の折り手順は以下のようになります。顎になる点が折り出せますね。

以上、使った事のない比率だったので考えてみました。


シッポ・マボナさんのアリの折り出し

2010年のメモが案外面白かったので。需要はについては考えない。


シッポ・マボナさんのアリの構造が面白い。左右の1:2の長方形にそれぞれ6つのカドが詰め込まれているという、サークルパッキングらしい、無駄の無い構造だ。 ただし、折り出しはそう簡単ではない。さて、どう折り出す? というか、折るだけでいけるのか?

http://snkhan.co.uk/forum/viewtopic.php?t=7466

形を見ていると、なんとなく任意角の三等分を思い出すのだが、あまり関係がなさそうだ。そもそも「3等分する角度」か「3等分の起点」が分かればそれがほぼ答えだという事にすぐに気がついた。これは一旦忘れよう。

似てはいるんですけどね。


整理しよう。折り出したいのは、横の辺に位置するカドの点、もしくはカドの折り込んである線の角度だ。この場合、どちらかというと角度の方が折り出しやすそうな気がする。紙の横のカドの間隔(カドの長さを1として、この長さを2としておこう)を適当なところに折り出して、それを基準に紙の上下の点を折り出すのがよさそうだ。

で、あとはこの2の長さの円周上のどこかに上下の辺のカドがある訳だ。 なにか他にもうひとつ基準はないか……ある。

展開図で見た場合、上辺のカドと横の辺の中間点を結ぶ線は、1:2の対角線になっている。これと上記の半径2の円を組み合わせればいい訳だ。

 

 

で、実際の手順。効率化してあるけれど、基本的な考え方は上記の基準を利用している。

以上。もっと良い手順があるかもしれないけど、とりあえず折り出せる事は分かったので満足。


2011/11追記。 少し後で、展開図を眺めていて、ふとまったく気がついていなかった解を見つけた。漸近法が使える!!すげえ。これ、手順がループするようなかたちで必要な点を出せば、結構応用できるんじゃないかな。


等分方法と整数比角度系・グリッド系設計法

10年以上前に考えた等分方法についての事と、最近の設計法が実は密接に関連していたという話。

まずは等分方法から。 切っ掛けはこの5等分。

これが何故5等分になるのかといろいろ考えていて、(なぜか)折る線が√5であることに注目、折る線の2乗等分が成立するのではないか?と思いついた。

数字を簡単に追ってみた結果、捉え方はいろいろあるにせよそれ自体は問題なさそう。ということで、やってみたのが1:4(√16)の対角線(√17)を使った17等分。

結果は成功。17等分の方法としてはかなり使いやすいのではないだろうか。

次に3等分。使うのは1:√2:√3の直角三角形、このうち折る線は√3、言い換えると1:√2の長方形の対角線になる。

√が絡むと折り出し辛いけれど、比率によっては素数等分を相当短い手順で折れる。 この段階では「ちょっと面白い等分方法で、実用面では1:√2の長方形を3等分する時に便利そう」というくらいにしか考えていなかった。


で、次が最近の話。

いわゆる神谷パターンや整数比角度系、ラングさんのsterling gridなどがいろいろと研究されているわけなのですが、先週末ごろTwitterでの話題を見ていて、上記の等分方法って実はこれらと密接に関連していたんだなと、いまさら気がついた。

この等分方法は、折ったカドの位置で縦横両方の等分が同時に出来ます。つまり、縦横等分する・カドはその等分グリッドに乗っている上に、整数の対角線ができる……他他数字から実用面までしっかり関連している。

5等分の場合、カドの位置から左側を見てみると3:4:5のいわゆる神谷パターンになる事がわかります。3等分はラングさんのsterling gridとかですね。

そして同時に気がついたのが、恐らく逆もいける。つまりこの等分方法の結果から、なんらかのグリッドが成立する。使いやすさに差はあると思うけれど、少なくとも指定の単位で折り畳める角度のセットが得られる。ベースとなる角度も比率もすぐに分かる。とりあえず整数の対角線だけはいくつか試してみたけれど、見事にピタゴラス数の構造になった。


という感じにいろいろ繋がって腑に落ちたと同時に、神谷パターンを見つけた時に感じた、「絶対他にもあるはず」という直感は当たっていたことを、とりあえず確認できたので満足したというそれだけの話。


1/3の折り出し、成功と失敗について

三等分の方法と、三等分にならない方法を同時に見つけた話。

まずは以下の図をご覧下さい。1/3の折り出し方です。

ここで問題:どこが3等分になっているのでしょうか?

 

 

まずは正解から。斜めの方の点が正解で、図のように3等分しています。なお、実用性はあまり無いです。使い易くはないし、この方法を使わなければいけない必然性も思いつかない。当然、これが実際に使われている図などを私は知りません。

で、こっちはハズレ。折ってみた時はもしかしたらと思ったけれど、確認したら違った。ただ、これが妙に惜しくてちょっと面白い。

長さはピタゴラスの定理で簡単に確認できます。紙の1辺を12とすると、幅は9、高さは7.93725…..となります。15cmの紙の場合、1/3とは1mm程度の誤差です。

ちなみに、正確に3等分できる場合の三角形の面積は幅9×9+高さ8×8=145。このケースの面積は斜辺12×12=144なので、残念ながら1ずれています。

以上、多分実用性はないけれど、方法を見つけた本人が面白かっただけの話です。


3+√2

22.5度の原子で遊んでいると、折り出しにくい比率が必要になる時があります。という事で、最もよく出現するものの一つ、3+√2という比率について。

まず。とりあえず以下のような構造が3+√2です。

3_r2_1

左はビバ!おりがみに掲載されている前川淳さんの龍、中央は川畑文昭さんのディノニクスなどが有名でしょうか。

※余談ですが、この2つの作品はどちらも大好きな作品で、よく折っていたのですが、自分で創作を始めるまで、これらが同じ比率を使っていた事に気がつきませんでした。

折り出しの点はいくつか考えられますが、2:1+√2、もしくは1:2+√2に分けるのが使いやすいでしょう。

※3:√2も出来ますが、折り出しやすさを考えるとあまりメリットはないように思います。

 

3_r2_2

まずは、ビバ!の龍の折り出して紹介されたものです。対角線上に折り出されるので使いやすいですね。

 

3_r3_3

もう一つ、折り出されるのは上記の方法と同じ点になります。(少し折り筋の付け方は違いますが、川畑さんの恐竜で使われている方法です。)

 

3_r2_4

2つとは違い1:2+√2に分割する方法です。これも対角線に折り出されます。欲しい点に合わせて使い分けるとよいでしょう。

 

3_r2_5  

ブック型の対称線に折り出す方法です。
構造によってはこちらの方が使いやすい場合もあります。


また勝手に比率の折り出しを考えてみた

しばらく前だけど、面白そうなものを見つけてしまった。
比率の折り出しは趣味なので、せっかくなので勝手に考えてみた。

確かに難しい。さすがに そのままではカウントすら難しいので、縦横にいくつか補助線を入れてみる。

20151003_1

※引用元:ほんしょい (@honsyoi)@twitter

これで数えやすくなった。11+10√2だ。約分すると9+√2になる。

折り出し自体は、8と1+√2に分ければ簡単に出せる。
ただし、出来れば折り出したいのは中心付近の点なので、ここからどうにか結果を3+2√2:6-√2にしたい。

ここで注目すべきは3+2√2で、実はこの数字は1+√2の2乗である。そして1+√2は22.5度を使えば簡単に折り出せるので、意外と使いやすい数字なのだ。
さらに8:1+√2という比の折り出しで元となる側の1+√2も用意できる。よし、繋がった。

という事で、折り出し手順。

20151003_2

分かりやすさのため1:8を使っているけれど、角度が浅すぎてずれやすいので、実際に折るなら1:4と2:1+√2を使う方が良いと思う。


5+2√2の話

こんぶさんのミクの比率を、楓さんが整理と折り出しをしているのを見ていて思った比の折り出しの話。

さて、この作品を折るためには、一辺を「5+2√2」として比率を折り出す必要があります。
この比率(というか展開図の形)、どこかで見たことがあると思っていたら、思い出しました。T.Fさんのコガネムシと同じ比率です。
http://origamigazousouko.web.fc2.com/koganemusi.html

このコガネムシについては、小松英夫さんが比率の折り出し方を記事にされています。
つまり、この手順でもミクが折れる。
http://d.hatena.ne.jp/origami/20091129/findref

ついでに、小松さんが記事をアップした当時に神谷が考えた他の折り出し案。結構いろいろな方法があります。好きなのを選べ。

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