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シッポ・マボナさんのアリの折り出し

2010年のメモが案外面白かったので。需要はについては考えない。


シッポ・マボナさんのアリの構造が面白い。左右の1:2の長方形にそれぞれ6つのカドが詰め込まれているという、サークルパッキングらしい、無駄の無い構造だ。 ただし、折り出しはそう簡単ではない。さて、どう折り出す? というか、折るだけでいけるのか?

http://snkhan.co.uk/forum/viewtopic.php?t=7466

形を見ていると、なんとなく任意角の三等分を思い出すのだが、あまり関係がなさそうだ。そもそも「3等分する角度」か「3等分の起点」が分かればそれがほぼ答えだという事にすぐに気がついた。これは一旦忘れよう。

似てはいるんですけどね。


整理しよう。折り出したいのは、横の辺に位置するカドの点、もしくはカドの折り込んである線の角度だ。この場合、どちらかというと角度の方が折り出しやすそうな気がする。紙の横のカドの間隔(カドの長さを1として、この長さを2としておこう)を適当なところに折り出して、それを基準に紙の上下の点を折り出すのがよさそうだ。

で、あとはこの2の長さの円周上のどこかに上下の辺のカドがある訳だ。 なにか他にもうひとつ基準はないか……ある。

展開図で見た場合、上辺のカドと横の辺の中間点を結ぶ線は、1:2の対角線になっている。これと上記の半径2の円を組み合わせればいい訳だ。

 

 

で、実際の手順。効率化してあるけれど、基本的な考え方は上記の基準を利用している。

以上。もっと良い手順があるかもしれないけど、とりあえず折り出せる事は分かったので満足。


2011/11追記。 少し後で、展開図を眺めていて、ふとまったく気がついていなかった解を見つけた。漸近法が使える!!すげえ。これ、手順がループするようなかたちで必要な点を出せば、結構応用できるんじゃないかな。


等分方法と整数比角度系・グリッド系設計法

10年以上前に考えた等分方法についての事と、最近の設計法が実は密接に関連していたという話。

まずは等分方法から。 切っ掛けはこの5等分。

これが何故5等分になるのかといろいろ考えていて、(なぜか)折る線が√5であることに注目、折る線の2乗等分が成立するのではないか?と思いついた。

数字を簡単に追ってみた結果、捉え方はいろいろあるにせよそれ自体は問題なさそう。ということで、やってみたのが1:4(√16)の対角線(√17)を使った17等分。

結果は成功。17等分の方法としてはかなり使いやすいのではないだろうか。

次に3等分。使うのは1:√2:√3の直角三角形、このうち折る線は√3、言い換えると1:√2の長方形の対角線になる。

√が絡むと折り出し辛いけれど、比率によっては素数等分を相当短い手順で折れる。 この段階では「ちょっと面白い等分方法で、実用面では1:√2の長方形を3等分する時に便利そう」というくらいにしか考えていなかった。


で、次が最近の話。

いわゆる神谷パターンや整数比角度系、ラングさんのsterling gridなどがいろいろと研究されているわけなのですが、先週末ごろTwitterでの話題を見ていて、上記の等分方法って実はこれらと密接に関連していたんだなと、いまさら気がついた。

この等分方法は、折ったカドの位置で縦横両方の等分が同時に出来ます。つまり、縦横等分する・カドはその等分グリッドに乗っている上に、整数の対角線ができる……他他数字から実用面までしっかり関連している。

5等分の場合、カドの位置から左側を見てみると3:4:5のいわゆる神谷パターンになる事がわかります。3等分はラングさんのsterling gridとかですね。

そして同時に気がついたのが、恐らく逆もいける。つまりこの等分方法の結果から、なんらかのグリッドが成立する。使いやすさに差はあると思うけれど、少なくとも指定の単位で折り畳める角度のセットが得られる。ベースとなる角度も比率もすぐに分かる。とりあえず整数の対角線だけはいくつか試してみたけれど、見事にピタゴラス数の構造になった。


という感じにいろいろ繋がって腑に落ちたと同時に、神谷パターンを見つけた時に感じた、「絶対他にもあるはず」という直感は当たっていたことを、とりあえず確認できたので満足したというそれだけの話。


1/3の折り出し、成功と失敗について

三等分の方法と、三等分にならない方法を同時に見つけた話。

まずは以下の図をご覧下さい。1/3の折り出し方です。

ここで問題:どこが3等分になっているのでしょうか?

 

 

まずは正解から。斜めの方の点が正解で、図のように3等分しています。なお、実用性はあまり無いです。使い易くはないし、この方法を使わなければいけない必然性も思いつかない。当然、これが実際に使われている図などを私は知りません。

で、こっちはハズレ。折ってみた時はもしかしたらと思ったけれど、確認したら違った。ただ、これが妙に惜しくてちょっと面白い。

長さはピタゴラスの定理で簡単に確認できます。紙の1辺を12とすると、幅は9、高さは7.93725…..となります。15cmの紙の場合、1/3とは1mm程度の誤差です。

ちなみに、正確に3等分できる場合の三角形の面積は幅9×9+高さ8×8=145。このケースの面積は斜辺12×12=144なので、残念ながら1ずれています。

以上、多分実用性はないけれど、方法を見つけた本人が面白かっただけの話です。


3+√2

22.5度の原子で遊んでいると、折り出しにくい比率が必要になる時があります。という事で、最もよく出現するものの一つ、3+√2という比率について。

まず。とりあえず以下のような構造が3+√2です。

3_r2_1

左はビバ!おりがみに掲載されている前川淳さんの龍、中央は川畑文昭さんのディノニクスなどが有名でしょうか。

※余談ですが、この2つの作品はどちらも大好きな作品で、よく折っていたのですが、自分で創作を始めるまで、これらが同じ比率を使っていた事に気がつきませんでした。

折り出しの点はいくつか考えられますが、2:1+√2、もしくは1:2+√2に分けるのが使いやすいでしょう。

※3:√2も出来ますが、折り出しやすさを考えるとあまりメリットはないように思います。

 

3_r2_2

まずは、ビバ!の龍の折り出して紹介されたものです。対角線上に折り出されるので使いやすいですね。

 

3_r3_3

もう一つ、折り出されるのは上記の方法と同じ点になります。(少し折り筋の付け方は違いますが、川畑さんの恐竜で使われている方法です。)

 

3_r2_4

2つとは違い1:2+√2に分割する方法です。これも対角線に折り出されます。欲しい点に合わせて使い分けるとよいでしょう。

 

3_r2_5  

ブック型の対称線に折り出す方法です。
構造によってはこちらの方が使いやすい場合もあります。


また勝手に比率の折り出しを考えてみた

しばらく前だけど、面白そうなものを見つけてしまった。
比率の折り出しは趣味なので、せっかくなので勝手に考えてみた。

確かに難しい。さすがに そのままではカウントすら難しいので、縦横にいくつか補助線を入れてみる。

20151003_1

※引用元:ほんしょい (@honsyoi)@twitter

これで数えやすくなった。11+10√2だ。約分すると9+√2になる。

折り出し自体は、8と1+√2に分ければ簡単に出せる。
ただし、出来れば折り出したいのは中心付近の点なので、ここからどうにか結果を3+2√2:6-√2にしたい。

ここで注目すべきは3+2√2で、実はこの数字は1+√2の2乗である。そして1+√2は22.5度を使えば簡単に折り出せるので、意外と使いやすい数字なのだ。
さらに8:1+√2という比の折り出しで元となる側の1+√2も用意できる。よし、繋がった。

という事で、折り出し手順。

20151003_2

分かりやすさのため1:8を使っているけれど、角度が浅すぎてずれやすいので、実際に折るなら1:4と2:1+√2を使う方が良いと思う。


5+2√2の話

こんぶさんのミクの比率を、楓さんが整理と折り出しをしているのを見ていて思った比の折り出しの話。

さて、この作品を折るためには、一辺を「5+2√2」として比率を折り出す必要があります。
この比率(というか展開図の形)、どこかで見たことがあると思っていたら、思い出しました。T.Fさんのコガネムシと同じ比率です。
http://origamigazousouko.web.fc2.com/koganemusi.html

このコガネムシについては、小松英夫さんが比率の折り出し方を記事にされています。
つまり、この手順でもミクが折れる。
http://d.hatena.ne.jp/origami/20091129/findref

ついでに、小松さんが記事をアップした当時に神谷が考えた他の折り出し案。結構いろいろな方法があります。好きなのを選べ。

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