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3色30枚組の話

ずいぶん前のコンベンションで宮島さんに聞かれてた問題。実は少し後に答え自体は出ていたのだけれど、放っておいて今に至る。

http://origamigasakebuyoru.seesaa.net/article/388906614.html

パターンの分析

正20面体の辺の色分けと考えるのが、個人的にはやりやすいと思う。

まず思いついたのが、それぞれの色各10枚の位置関係は対称にはならない事。正多面体の対称性を考えると、いくつかの種類に別れるはず。10の対称”面”ならあるけれど、今回はあまり使えなさそう。

次に色分け図を見て気がついたのが、5本の辺がそれぞれ繋がっている事と、それが6本絡み合っている事。これはよく考えると当たり前の話で、各頂点には5本の辺が集まっているので、3色での色分けでは必ず1:2:2となる。この1が6本の色線の端になる。で、頂点は12なので色線は6本となる。

整理されてきた。 まず、6本3色であれば対称性が分かりやすい。正四面体の各辺だ。 さらに色分け図を詳しく見ると、5本の辺はS字に曲がっている事に気がつく。たしかにこれ以外では無理っぽい。正20面体=変形正四面体であると考えれば、納得の対称性と位置関係。という事で、構造的には右巻きと左巻きの2種類がある。

※印の辺が5本繋がっている中心の辺

 

具体的な組み方

1. まず20面体の頂点5枚を組む。色はa(青)×1:b(赤)×2:c(緑)×2になる。

2. その周りを組んで三角形の面5つをつくる。これは自動的に決まる。使うのはa(青)×3:b(赤)×1:c(緑)×1。

 

3. 手順1でa(青)を使っている頂点(白印)に注目、a(青)ともう1つ(b(赤)またはc(緑))を合わせて頂点をつくる。

印の頂点を手前にする。

a(青)ともう1つ(図ではc(緑))で頂点をつくる。

4. 3つ組み合わせて三角形の面3つをつくる。

5. 2カ所あるユニットが4つ集まっている頂点のうち、片方は両側の色が違うため確定している。3つ組み合わせて面を2つつくる。

4つのユニットが集まっている印の頂点を手前に。

色はc(緑)に確定している。両側も組み合わせる。

6. あとは確定している頂点・面を順番に埋めていけば完成。

印の頂点はつなぐパーツの色が確定済。それぞれ組んで進めていけば全体が組み上がる。

 

ポイントとなるのは3の手順で、ここで正しい色のパーツを組む事で巻き方向を確定、残りの色も全て決まります。逆にここで間違えて緑と赤を組んでしまうと、少し先で行き詰まります。線対称になっているので、2つ先くらいの手順で同じ色が隣り合うはず。

これはダメなパターン。青のパーツが赤と緑で取り囲まれている。


1/3の折り出し、成功と失敗について

三等分の方法と、三等分にならない方法を同時に見つけた話。

まずは以下の図をご覧下さい。1/3の折り出し方です。

ここで問題:どこが3等分になっているのでしょうか?

 

 

まずは正解から。斜めの方の点が正解で、図のように3等分しています。なお、実用性はあまり無いです。使い易くはないし、この方法を使わなければいけない必然性も思いつかない。当然、これが実際に使われている図などを私は知りません。

で、こっちはハズレ。折ってみた時はもしかしたらと思ったけれど、確認したら違った。ただ、これが妙に惜しくてちょっと面白い。

長さはピタゴラスの定理で簡単に確認できます。紙の1辺を12とすると、幅は9、高さは7.93725…..となります。15cmの紙の場合、1/3とは1mm程度の誤差です。

ちなみに、正確に3等分できる場合の三角形の面積は幅9×9+高さ8×8=145。このケースの面積は斜辺12×12=144なので、残念ながら1ずれています。

以上、多分実用性はないけれど、方法を見つけた本人が面白かっただけの話です。


「架空の折り紙作品」

 

折紙探偵団マガジン152号に掲載されたヒツジの創作記事について、実はスペースの都合で削った項目があります。記事の内容は、先に完成の形を決めて、それを目指して創作する方法というようなものなのですが、最後に以下のような内容を用意していました。

 


気がついた方もいるかもしれませんが、この創作手順は「架空の作品をにらみ折りする」と言い換える事が出来ます。さらに考えてみると、架空の作品の形を考える作業とそれを実際に折る作業は、実は同じ人間が行う必然性はありません。理屈の上では分業体制での創作もできそうです。実際に、折り紙をモチーフとしたロゴや、漫画などに登場する架空の作品を、にらみ折りして再現したというケースもあります。創作体制として分業や、「架空の折り紙作品」は作品として認められるのかなど、いろいろ考えてみると面白いかもしれません。


 

まあ実際にどういった形になるかはいろいろな可能性がありますが、例えば人間が形を決めて、それをプログラムで再現するというのは不可能ではなさそうです。これも一種の分業ではあります。折り紙の創作は「形」と「構造」、そして「手順」が不可分なのか、それとも完全に切り分けることが可能なのか。誰か試してみませんか?

※画像は折紙探偵団マガジン152号より。試作の際の脳内完成イメージ。これは構造まで考えて描いたものなので再現性は異常に高い。


アルドゥインの構造と領域の追加

アルドゥインは、「 シンプルな形を折り出し、複雑な仕上げを行う」という方針で創られています。これは外見だけではなく、構造でも同様の方針を取っています。創作手順を簡単に追って見ていきます。

とりあえず頭部は正方形のカドから折り出すことにします。また、ツノや顎などはカドの外側にスペースを追加して折り出す方法がよさそうです。簡単な構造で必要なカドを揃える事が出来ました。

頭部とその周りの全体の構造については、頭部と翼に同じ大きさのカドを割り当てられそうです。つまり鶴の基本形でOK。中心のカドも、胴のトゲ等に利用できそうです。

全体の構造はいくつか候補が考えられますが、とりあえず最もシンプルなものを採用します。

……あまりにも普通の構造で、これでいいのかと思うかもしれませんが、カドの出る位置は悪くないし、わざわざ必要以上に複雑にする意味はありません。昔『をる』誌上で前川さんも言っていましたが、構造がシンプルなのは歓迎すべき事で、わざわざ複雑にしなければいけないのではと気にするのはおかしい。

※領域の追加を前提とした場合、基礎の構造を選ぶ時には、カドの大きさより出ている位置を優先します。カドの大きさは領域の追加でいくらでも調整可能です。

これを基礎として、必要に応じて領域を追加していきます。ここはいろいろな要素が絡むので結果から。

一気に説明します。基礎構造(白)に、まずは頭部の折り出し用の領域を追加(赤)。 足の指と尾の装飾用に反対側にも追加(黄)。そして翼が少し小さいので、中心をぶった切ってさらに領域を追加します(青)。なおこの部分は、脚の装飾や翼の爪の折り出しにも利用しています。

※気がついた方もいるかもしれませんが、この3回の領域の追加は、すべて同じ幅になっています。このおかげて翼の爪部分をきれいに折り出す事が出来ます。また、比率も分かりやすくなります。

これで十分なカドは出そろいました。あとは仕上げればできあがりです。

 

 


3+√2

22.5度の原子で遊んでいると、折り出しにくい比率が必要になる時があります。という事で、最もよく出現するものの一つ、3+√2という比率について。

まず。とりあえず以下のような構造が3+√2です。

3_r2_1

左はビバ!おりがみに掲載されている前川淳さんの龍、中央は川畑文昭さんのディノニクスなどが有名でしょうか。

※余談ですが、この2つの作品はどちらも大好きな作品で、よく折っていたのですが、自分で創作を始めるまで、これらが同じ比率を使っていた事に気がつきませんでした。

折り出しの点はいくつか考えられますが、2:1+√2、もしくは1:2+√2に分けるのが使いやすいでしょう。

※3:√2も出来ますが、折り出しやすさを考えるとあまりメリットはないように思います。

 

3_r2_2

まずは、ビバ!の龍の折り出して紹介されたものです。対角線上に折り出されるので使いやすいですね。

 

3_r3_3

もう一つ、折り出されるのは上記の方法と同じ点になります。(少し折り筋の付け方は違いますが、川畑さんの恐竜で使われている方法です。)

 

3_r2_4

2つとは違い1:2+√2に分割する方法です。これも対角線に折り出されます。欲しい点に合わせて使い分けるとよいでしょう。

 

3_r2_5  

ブック型の対称線に折り出す方法です。
構造によってはこちらの方が使いやすい場合もあります。


平行以外の幅変換

実際に折っている時には当たり前で意識していないような事でも、整理しておくと意味があるかもしれない。

ということで、幅変換の話。一般的に蛇腹のテクニックというイメージがあるけれど、直角以外でも結構普通に使える。そして、実は平行のヒダ同士でなくても使える。

幅変換1

ヒダを細くするとこうなる。中心に現れる22.5度の直角三角形が面白い。もちろん、もっと細かくしても折れるはず。

幅変換2

平行じゃない方でもいけます。

幅変換3

ここまでくれば予想は出来ると思うけれど、当然両側が平行でない場合でも可能。

幅変換4

幅変換5

この辺になると、幅変換と意識されていないのではないだろうか。ただ本質的には同じ仕組みのはず。後は、ラインが一値ではないしずめ折りや、いわゆるSpread-sinkをして折り畳んだ形が同じ構造になります。

以上、細かい検証とかは好きな方にお任せします。


また勝手に比率の折り出しを考えてみた

しばらく前だけど、面白そうなものを見つけてしまった。
比率の折り出しは趣味なので、せっかくなので勝手に考えてみた。

確かに難しい。さすがに そのままではカウントすら難しいので、縦横にいくつか補助線を入れてみる。

20151003_1

※引用元:ほんしょい (@honsyoi)@twitter

これで数えやすくなった。11+10√2だ。約分すると9+√2になる。

折り出し自体は、8と1+√2に分ければ簡単に出せる。
ただし、出来れば折り出したいのは中心付近の点なので、ここからどうにか結果を3+2√2:6-√2にしたい。

ここで注目すべきは3+2√2で、実はこの数字は1+√2の2乗である。そして1+√2は22.5度を使えば簡単に折り出せるので、意外と使いやすい数字なのだ。
さらに8:1+√2という比の折り出しで元となる側の1+√2も用意できる。よし、繋がった。

という事で、折り出し手順。

20151003_2

分かりやすさのため1:8を使っているけれど、角度が浅すぎてずれやすいので、実際に折るなら1:4と2:1+√2を使う方が良いと思う。


5+2√2の話

こんぶさんのミクの比率を、楓さんが整理と折り出しをしているのを見ていて思った比の折り出しの話。

さて、この作品を折るためには、一辺を「5+2√2」として比率を折り出す必要があります。
この比率(というか展開図の形)、どこかで見たことがあると思っていたら、思い出しました。T.Fさんのコガネムシと同じ比率です。
http://origamigazousouko.web.fc2.com/koganemusi.html

このコガネムシについては、小松英夫さんが比率の折り出し方を記事にされています。
つまり、この手順でもミクが折れる。
http://d.hatena.ne.jp/origami/20091129/findref

ついでに、小松さんが記事をアップした当時に神谷が考えた他の折り出し案。結構いろいろな方法があります。好きなのを選べ。

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